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Le grand mystère de la relation entre + et x
Addition, multiplication : ce sont des opérations simplissimes, les premières maîtrisées par les écoliers. Et pourtant, le lien qui les unit résiste aux outils mathématiques les plus sophistiqués…
La question est l’une plus déconcertantes de la discipline : quels sont les liens entre addition et multiplication ? Comment mettre en regard les propriétés additives et les propriétés multiplicatives des nombres entiers ? C’est à première vue d’une simplicité enfantine. C’est surtout une question fondamentale. “Les nombres entiers, ce sont les objets élémentaires des mathématiques. Les comprendre, c’est appréhender les principes premiers de la discipline”, pose Florent Jouve, chercheur en théorie algébrique des nombres à l’Institut de mathématiques de Bordeaux.
Le problème, c’est que la liste des nombres entiers peut se construire de deux manières totalement différentes. “Habituellement, on le fait avec l’addition”, explique Lucile Devin, chercheuse au laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph-Liouville, à Calais. Après le nombre 1 vient le 2 (qui vaut 1 + 1), puis le 3 (2 + 1), etc. À partir d’une seule brique élémentaire, l’entier 1, et de l’addition, on fabrique ainsi tous les entiers positifs, par ajouts successifs. Sauf que cette liste peut aussi être générée avec l’autre grande opération arithmétique, la multiplication.
