Face au hasard: le mystère des nombres premiers

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C’est un casse-tête qui rend fou depuis des siècles. 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17… La litanie des nombres premiers est parfaitement déterministe, au sens où leur définition – des entiers positifs qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes – ne fait aucunement appel à la notion de hasard. Pourtant, elle semble parfaitement désordonnée, aléatoire. Une conséquence directe de leur définition est qu’à deux exceptions près (le 2 et le 5), les nombres premiers se terminent tous par un 1, un 3, un 7 ou un 9, une propriété très structurante. Mais on sait aussi que si l’on pioche au hasard un très grand nombre premier, son dernier chiffre a statistiquement autant de chances d’être un 1 qu’un 3, un 7 ou un 9… “Des énoncés comme cette propriété traduisent l’idée qu’il n’y a pas d’ordre caché dans les nombres premiers, pas de biais qui ferait qu’on en trouverait davantage à tel ou tel endroit dans l’ensemble des entiers”, explique Joël Rivat, chercheur à l’université d’Aix-Marseille. 

C’est presque un paradoxe, comme l’expliquait en 2007 le mathématicien australien Terence Tao dans un célèbre texte intitulé “Structure and Randomness” (“Structure et hasard”) : “Les nombres premiers forment un ensemble hybride, qui présente à la fois de la structure et de l’aléa. Cet ensemble est parfaitement déterministe, mais il est clair qu’il se comporte aussi d’une manière ‘pseudo-aléatoire’.” Un paradoxe d’autant plus entêtant que ce sont les atomes de l’un des champs les plus anciens des mathématiques.