Le casse-tête du 3e infini

Si quelqu’un connaît l’infini, c’est bien le mathématicien. On pourrait même avoir l’impression que c’est une affaire qui roule : sommes infinies, suites infinies, passages à la limite infinitésimaux, le mathématicien jongle quotidiennement avec le sujet. Sauf qu’en fait, non : la reine des sciences n’est pas sereine du tout. Car en ce moment même, à coups d’abstractions tranchantes, deux camps s’affrontent sur la question. L’enjeu ? L’existence d’un troisième infini, rien de moins, caché dans l’interstice entre les deux bons vieux infinis si bien troussés depuis un siècle et demi : celui des nombres entiers, comme 1, 2 et 3 ; et celui des nombres réels, qui possèdent une infinité de chiffres après la virgule.

Ce n’est pas un détail. Car l’existence de ce troisième infini a été pointée dès 1900 par David Hilbert, à l’occasion du congrès international des mathématiciens, comme le tout premier problème – sur sa longue liste de 23 – à résoudre en priorité, pour le salut des mathématiques. Depuis, plus d’un siècle a passé, et le casse-tête est devenu un combat homérique.