Les maths ont vaincu le pavage apériodique

“Heureusement que je l’ai repérée, hein ?” David Smith n’aime pas être présenté comme un mathématicien amateur. “J’aimais les maths mais je n’y excellais pas  je n’ai pratiquement aucune qualification.” Ce retraité de 64 ans établi dans le Yorkshire, au Royaume-Uni, est plutôt un amateur de mathématiques. “Je recherche activement des polygones qui pavent le plan de manière intéressante” Et il est fier que la forme géométrique à 13 côtés qu’il a contribué à dessiner fasse aujourd’hui l’admiration des professionnels : c’est la première véritable monotuile apériodique. 

Le “spectre”

Découpez cette forme, faites-en plein de reproductions, et accolez-les entre elles, sans espace vide ni chevauchement, à la manière d’un puzzle. La démonstration en a été faite avec l’aide de Chaim Goodman-Strauss, chercheur au Musée national des mathématiques, à New York, de Craig Kaplan, à l’université de Waterloo, au Canada, et de Joseph Myers, un développeur de logiciels établi à Cambridge, en Angleterre : vous pourrez alors recouvrir tout votre sol, à l’infini ; et surtout, ce pavage sera apériodique. C’est-à-dire que si vous faites une copie de l’ensemble du pavage que vous translatez à droite, à gauche, vers le haut ou vers le bas, jamais vous ne réussirez à superposer parfaitement les deux dessins – à moins, bien sûr, de revenir à la position initiale.

J’étais persuadé que si une telle tuile existait, elle devrait être extrêmement compliquée !

“Incroyable”, “génial”, “phénoménal”, “magnifique”… les louanges des spécialistes pleuvent. Il faut dire qu’une telle forme les a hantés pendant des décennies – David Smith l’a d’ailleurs baptisée “le spectre”. Pourquoi une telle passion ? Les pavages apériodiques peuvent certes inspirer quelques valeureux carreleurs. Des informaticiens surtout, pour des questions de logique : “Je m’intéresse aux liens entre les pavages et les problèmes de calculabilité, c’est-à-dire la question de savoir si un problème peut être systématiquement résolu par un algorithme ou non”, explique Étienne Moutot, chargé de recherches au CNRS et à Aix-Marseille Université. Et des physiciens aussi, qui retrouvent cette apériodicité dans la structure atomique de matériaux comme les quasi-cristaux : “Comment ce type de structure influence-t-elle les propriétés physiques du matériau ?”, s’interroge le physicien Joshua Socolar, à l’université Duke, aux États-Unis. 

Bloqués à 2

Mais savoir s’il existe ou non une monotuile apériodique est d’abord et avant tout une question de principe : les mathématiciens sont comme ça, ils ne supportent pas qu’un défi leur résiste. “Les problèmes les plus faciles à formuler ne sont souvent pas les plus faciles à résoudre”, sourit Nathalie Aubrun, chargée de recherche en dynamique symbolique et calculabilité au CNRS et à l’université Paris-Saclay. En l’occurrence, il faut prouver deux choses. “D’abord – et c’est déjà complexe –, il faut démontrer que la tuile pave bien, qu’on ne va pas se retrouver bloqués à ne plus pouvoir ajouter de pièces après avoir posé 15, 1000 ou 10000 tuiles”, explique Ludovic Marquis, chercheur en géométrie à l’université de Rennes. Mais de l’avis général, le challenge réside surtout dans la seconde partie : prouver que tous les pavages valides sont apériodiques. “Là-dessus, je me suis fait avoir plusieurs fois !”, s’exclame Vincent Van Dongen, chercheur indépendant en architecture modulaire.

Le coup du chapeau

La question est apparue en 1961, quand le logicien sino-américain Hao Wang conjecture que, si un ensemble de tuiles un peu particulières, appelées “tuiles de Wang”, permet de paver le plan, alors ce pavage est forcément périodique. Trois ans plus tard, un de ses doctorants, Robert Berger, contredit cette conjecture en exhibant un ensemble de plus de 20000 tuiles différentes qui pavent le plan, mais pour lequel tous les pavages possibles sont apériodiques. Le but, depuis, est de réduire le nombre de tuiles nécessaires à ces pavages.

Sa forme est étonnamment simple

En quelques années, les mathématiciens tombent à deux… mais restent bloqués à ce stade. Une monotuile apériodique est certes exhibée en 2010, sauf qu’elle est composée de plusieurs morceaux déconnectés. “C’était astucieux, mais ça n’était pas une solution complète au problème”, estime Vincent Van Dongen. “Il y a quelque temps, un ami m’a demandé si je croyais qu’on pouvait résoudre le problème avec une seule vraie tuile, se souvient Chaim Goodman-Strauss. La vérité, c’est que je n’en avais aucune idée. En revanche, j’étais persuadé que si une telle tuile existait, elle devrait être extrêmement compliquée !” 

Arme secrète

“Et je suis tombé sur le chapeau… ” David Smith entre en scène. Il remarque qu’une des tuiles qu’il a dessinées se comporte étrangement. Il sollicite l’aide de Craig Kaplan, mathématicien et informaticien spécialiste des pavages. “En guise de microscope, pour comprendre cette forme, nous avons utilisé des outils informatiques, explique le chercheur. J’avais récemment développé un logiciel qui, à partir d’une tuile, dessine de gros morceaux de pavage : c’est une aide puissante pour booster l’intuition humaine !” Et même une véritable “arme secrète”, d’après son collègue Chaim Goodman-Strauss : avec ce logiciel, l’équipe démontre rapidement que le chapeau pave bel et bien le plan. Enfin, presque : il faut pour cela utiliser le chapeau et sa version retournée, parfois la tuile à l’endroit, parfois la tuile à l’envers. Même si le chapeau n’est pas la monotuile tant recherchée, sa prépublication en ligne fait grand bruit.

“C’est super joli”

“Sa forme est étonnamment simple”, souffle Michaël Rao, chercheur en combinatoire à Lyon : un petit assemblage de plusieurs exemplaires d’un même triangle rectangle, qui forment une structure ressemblant un peu à la silhouette d’un chapeau – d’où son nom. “Quand le résultat est sorti, c’était vraiment un gros événement, ajoute-t-il. Tout le monde en parlait dans mon labo, même les gens qui ne sont pas du domaine.” D’autant plus que la méthode utilisée pour démontrer l’apériodicité de tous les pavages possibles avec cette tuile, basée sur des déformations simultanées de deux côtés du polygone, est inédite. “C’est super joli, comme preuve”, s’enthousiasme Nathalie Aubrun. “C’est très excitant pour nous, parce qu’on va potentiellement pouvoir réutiliser cette technique dans d’autres contextes”, ajoute Étienne Moutot.

Je sentais bien qu’ils ne disaient pas tout, qu’ils allaient annoncer autre chose après

Et l’histoire ne tarde pas à rebondir. “Quand ils ont présenté le chapeau, je sentais bien qu’ils ne disaient pas tout, qu’ils allaient annoncer autre chose après”, se souvient Vincent Van Dongen. Chaim Goodman-Strauss précise : “On s’est rendu compte à peine une semaine après sa présentation que le spectre était là, sous nos yeux.” 

Car oui, dans le continuum de tuiles obtenu en déformant le chapeau, les théoriciens-carreleurs voient apparaître une configuration singulière, où le mécanisme du pavage ne se passe pas comme ailleurs. Et ils n’ont plus qu’à modifier judicieusement les bords de ce chapeau pour obtenir, cette fois, la première vraie monotuile apériodique. Vincent Van Dongen s’en amuse : “En quelque sorte, le spectre était initialement présenté comme un chapeau qui ne marche pas !” David Smith sourit : “Cela conclut tout si parfaitement !”

On attend la suite

“À présent, je voudrais essayer de comprendre pourquoi les tuiles qui sont localement indistinguables ne sont globalement pas interchangeables”, reprend le physicien Joshua Socolar. “J’imagine qu’il existe plein d’autres tuiles qui résolvent le problème, devine pour sa part Michaël Rao. J’attends la suite.” Étienne Moutot, quant à lui, s’interroge : “Est-ce que d’autres pavages connus appartiennent à un continuum comparable à celui du chapeau sans qu’on s’en soit rendu compte ?” Les mathématiciens sont incorrigibles : même quand le spectre est devenu visible, il continue de les hanter…