La révolution mathématiques

Il faut insister pour que Peter Scholze accepte de s’exprimer – un peu – sur ce qu’il a dans la tête. “L’unique objet auquel je tiens vraiment est l’espace nommé spectre des nombres entiers. Comprendre sa géométrie est la seule chose qui, en fin de compte, motive toutes mes recherches.” 

Le spectre des entiers… Le nom suffit à faire peur – les habitués l’appellent Spec(ℤ), ℤ étant l’ensemble des nombres entiers, positifs, négatifs et le zéro. Quelque chose de sûrement précieux. Et, on s’en doute, d’une grande profondeur hermétique – forcément ! “C’est une entité étrange et difficilement descriptible, commente Antoine Bourget, théoricien au CEA. C’est l’espace géométrique sous-jacent à la structure des nombres entiers.”

Ce chercheur tente de l’expliquer en s’appuyant sur l’ensemble des nombres réels, notés ℝ. Il souligne le fait que si ℤ est discret (placés sur une ligne, les nombres entiers laissent de grands trous, entre le 0 et le 1, entre le 1 et le 2, etc.), ℝ, lui, est continu : les nombres réels remplissent toute la ligne. “Cette ligne est le spectre, c’est-à-dire l’espace géométrique, des polynômes à coefficients réels.”

Un coup de crayon

Gardons à l’esprit que ce spectre continu est très puissant : il offre une autre façon de se représenter la chose. D’un côté, les réels sont des nombres qui peuvent s’exprimer avec des chiffres, si on prend le temps d’en écrire une infinité après la virgule ; de l’autre, ce sont des points sans dimension sur une ligne continue. Et cela fait longtemps que les mathématiciens ont compris que ce double point de vue, numérique et géométrique, permet de résoudre moult problèmes en leur donnant le choix de la méthode : symbolique ou visuelle, ou même les deux à la fois.

René Descartes a été le premier. Dans son Discours de la méthode de 1637, il montre que l’équation algébrique x +y = 0 (autrement dit, le problème numérique consistant à trouver deux nombres dont la somme est nulle) se ramène aisément à l’étude géométrique d’une droite oblique (les nombres réels x et y étant placés sur deux lignes, l’une horizontale, l’autre verticale). Mieux : l’équation 3 x² + 5 y² = 12, a priori bien compliquée, est une ellipse quand on la dessine, un objet géométrique connu depuis les Grecs. Un simple coup de crayon permet donc de voir tous les couples de nombres réels vérifiant cette équation compliquée. Le visuel vient aider le symbolique.

L’aspect visuel et intuitif de la géométrie a totalement disparu sous une superposition de niveaux d’abstraction. Vous n’y trouverez plus aucune figure !

Telle est la quête de Scholze : transposer la puissance des spectres aux entiers, afin de pouvoir déployer l’énorme arsenal de la géométrie sur des questions purement arithmétiques, qui restent encore aujourd’hui hors de portée – depuis l’Antiquité, les nombres entiers sont la matière première, sinon la seule, des mathématiques, ainsi que leur plus grand défi.

Par exemple pour résoudre le lancinant problème des nombres premiers – qu’on ne peut diviser par aucun autre entier sans les briser, comme 3, 7, 11, 13, etc., et qui semblent apparaître au petit bonheur la chance dans la suite des entiers. En 2000, l’Institut de mathématiques Clay a promis un million de dollars à qui démontrerait l’hypothèse de Riemann, laquelle propose une loi de répartition de ces nombres premiers.

De quoi relever aussi les défis arithmétiques inventés par les Grecs anciens comme Pythagore de Samos ou Diophante d’Alexandrie, et toujours pas vaincus, consistant à trouver les entiers – ou les fractions – qui vérifient une certaine équation dite “polynomiale”. Peut-on par exemple trouver trois entiers x, y et z qui vérifient x² + y² = z² ? Une fameuse solution remontant à Pythagore est 3, 4, 5, qui, merveille supplémentaire, est composée de trois nombres successifs – un summum de l’esthétique pour les Grecs ! Ces défis traversent toute l’histoire des mathématiques : c’est en cherchant des solutions entières à de telles équations, dites “diophantiennes”, avec des coefficients ou des exposants plus compliqués, que les mathématiciens ont été amenés, peu à peu, à plonger dans l’abstraction la plus profonde. 

Pas très amical

“Pierre de Fermat avait conjecturé vers 1637 qu’il n’y a pas de nombres entiers x, y et z strictement positifs, tels que x³ + y³ = z³, ni tels que x⁴ + y⁴ = z⁴, ni avec aucune puissance supérieure, rappelle Vincent Pilloni, de l’université Paris-Saclay. Il a fallu 350 ans pour que ce soit démontré par Andrew Wiles, en 1994, avec des outils extrêmement puissants et modernes de la géométrie.” C’est là toute l’idée : en géométrisant les questions, en traçant des figures sur un tableau, on a plus de chances de trouver des réponses.

Le problème, c’est que Spec(ℤ) n’est pas très amical. Il se dérobe. Tout simplement parce que, contrairement aux réels qui saturent toute la ligne, les entiers sont séparés par des vides. À quoi peut ressembler un espace qui se déploierait sur tous les entiers sans exister dans les interstices ? Comment imaginer une géométrie du discret ? N’essayez pas : cela est impossible à visualiser… Mais cela ne dérange pas Scholze. “Depuis le tournant des années 1950-1960, l’aspect visuel et intuitif de la géométrie a totalement disparu sous une superposition de niveaux d’abstraction. Vous n’y trouverez plus aucune figure !”, s’amuse le mathématicien Alain Connes, de l’Institut des hautes études scientifiques. 

Première alerte

Que de chemin parcouru depuis Euclide et ses belles figures géométriques tracées sur des feuilles bien planes, avec de belles droites bien parallèles ! 

Première alerte au XIX^e siècle : des mathématiciens comme Carl Friedrich Gauss imaginent, contre tout “bon sens” euclidien, que deux droites parallèles peuvent tout à fait se couper ou s’éloigner indéfiniment l’une de l’autre. Il suffit qu’elles soient tracées non pas sur un plan mais, dans le premier cas, sur une sphère ; et dans le second, sur un plan “hyperbolique” en forme de selle de cheval. Ça n’a pas tué la géométrie, au contraire : des “géométries non-euclidiennes” sont nées, qui ont fait à l’époque figure de monstruosités abstraites… et que les physiciens utilisent aujourd’hui couramment pour décrire notre espace-temps courbe aux grandes échelles. Reste que l’abstraction est mesurée : même dans ces espaces tordus, la géométrie garde le contact avec les figures.

Peter Scholze a généralisé le concept d’espace à des objets qu’on ne pensait pas pouvoir atteindre ! Il impulse un mouvement de création de nouvelles géométries

Le saut effectué dans la seconde partie du XX^e siècle est hautement plus barré, avec Alexandre Grothendieck en maître d’œuvre. Sa stratégie : inventer de nouveaux espaces à partir des objets abstraits afin que ceux-ci puissent “vivre” sur eux. Pour se faire une petite idée de cette approche iconoclaste, revenons aux géométries non-euclidiennes. 

Il est aisé de savoir si la surface sur laquelle vous êtes est plane, sphérique ou en forme de selle de cheval : il suffit de tracer un triangle dessus et de mesurer les angles. Si leur somme vaut 180°, vous êtes sur un plan ; si elle est supérieure, vous êtes sur une sphère ; si elle est inférieure, vous êtes au creux d’une selle. Les propriétés géométriques globales de cet espace se reflètent dans le comportement local d’un objet tracé dessus.

Puissante machinerie

En guise de triangle, Grothendieck prend des concepts mathématiques ténébreux, aux noms plus ou moins chantants (comme “cohomologie”, “faisceaux”, et autres drôles ­d’oiseaux), seulement représentables par des symboles. Mais, à condition qu’il remplisse certaines conditions “topologiques ”, il montre qu’on peut quand même les voir comme des objets d’un espace géométrique sous-jacent à explorer – ou plutôt à construire. 

En convoquant toute la machinerie mathématique existante, et surtout en inventant de nouvelles pièces, il extrait des limbes de nouveaux espaces – pour le coup totalement inimaginables ! Il reconstruit les notions géométriques habituelles de continuité, de distance, de courbe. Il tente aussi de caractériser leur forme : sont-ils d’un seul tenant ? Ont-ils des trous ? Combien et de quelles dimensions ?

L’affaire est un peu difficile à avaler. En partant de briques élémentaires qui ne sont plus les points, les lignes, les surfaces – toutes choses en relation avec les nombres réels –, Alexandre Grothendieck libère la géométrie de son carcan figuratif et du joug de la représentation. Le prix de cette liberté : l’impossibilité de s’en faire une image – sauf peut-être à les côtoyer quotidiennement pendant des années. 

Pas de panique ! 

“C’est le mouvement naturel des mathématiques, justifie Alexis Bouthier, de l’Institut de mathématiques de Jussieu (IMJ-PRG). Il y a des concepts familiers étudiés parfois depuis des siècles qu’on dépouille peu à peu de propriétés jugées non essentielles afin de pouvoir les appliquer à davantage de situations et répondre à des questions qui nous échappaient. Cela amène à découvrir de nouvelles réalités mathématiques et à poser de nouvelles questions.” 

En voulant reconstruire l’espace géométrique sous-jacent à l’ensemble des nombres entiers, Peter Scholze prolonge ce vertigineux mouvement grothendieckien. N’a-t-il pas écrit : “Pour moi, les mathématiques ont démarré avec Grothendieck” dans un ouvrage collectif consacré à cet héritage ?

Ce n’est d’ailleurs pas directement avec les nombres entiers que le nouveau génie travaille, mais avec les nombres dits “p-adiques”. Pas de panique ! Ce “monde p-adique” n’est qu’un système alternatif, comme il y a le système des nombres binaires (qui n’utilise que le 0 et le 1) et d’autres. Il présente un grand avantage : il est plus simple (pour les mathématiciens !) que celui des entiers naturels « pollué » par les nombres premiers, qui apparaissent dans la suite des entiers sans loi connue, créant un germe de désordre perturbant beaucoup les démonstrations. 

Pendant des siècles, ces domaines ont évolué en parallèle sans lien apparent… et puis un jour, on découvre que ça se rejoint. C’est fou

En gros, le “p” de p-adique est un nombre premier quelconque fixé, qui engendre un univers numérique où il sera le seul nombre premier. Étonnamment, cet écosystème construit à partir des entiers est assez proche (sous un certain point de vue) de celui des nombres réels. “Aujourd’hui, je trouve les nombres réels beaucoup, beaucoup plus déroutants que les nombres p-adiques, confiait Scholze il y a quelques années. Je m’y suis tellement habitué que désormais les vrais nombres me paraissent très étranges.”

En ce monde p-adique, Peter ­Scholze est roi. à 24 ans, en 2012, lors de sa thèse, c’est en partant de ces nombres p-adiques qu’il invente un nouveau type d’espaces, les “perfectoïdes”, sortes d’espaces fracturés multifacettes. “Ça ne se dessine pas”, reconnaît Benoît Stroh de IMJ-PRG – faut-il s’en étonner ? Mais, pour qui sait voir, les multiples reflets de ces espaces permettent d’aborder de nombreux problèmes mathématiques sous plusieurs angles, et de choisir le plus percutant.

Une coïncidence…

Scholze va encore plus loin dans l’abstraction avec les “ensembles condensés” qu’il échafaude avec le mathématicien Dustin Clausen en 2019. “C’est venu de considérations très techniques en géométrie p-adique, raconte Peter Scholze. Mais, avec Dustin, nous avons réalisé que ces structures sont utiles bien plus largement, dans d’autres régions des mathématiques, comme la géométrie des nombres réels.”

Ces mathématiques condensées sont pour le moins difficiles à décrire. Disons qu’elles prennent tellement de hauteur que l’on ne distingue plus les objets, seulement des relations. Benoît Stroh y voit une cohérence dans le cheminement : “Les ensembles condensés étaient déjà en germe dans les perfectoïdes.” Mais les spécialistes, eux-mêmes, reconnaissent qu’ils peinent à suivre. “Peter Scholze a généralisé le concept d’espace à des objets qu’on ne pensait pas pouvoir atteindre !, constate Anne-Marie Aubert de l’IMJ-PRG. Il impulse un mouvement de création de nouvelles géométries.” “En somme, Scholze est un stylite, admire Alexis Bouthier, en référence à ces ermites qui s’isolaient au sommet d’une colonne. Il vit à une hauteur bien supérieure à celle des autres, et cela lui permet de voir ce qu’on ne voit pas.”

Abyssal

Et en 2021 arrive la consécration : la démonstration avec le Français Laurent Fargues d’une des “conjectures de Langlands”, l’un des projets les plus abyssaux, où les mathématiques se regardent elles-mêmes et se questionnent sur leur identité, leur cohésion.

La collaboration entre les deux mathématiciens s’était amorcée en 2014, lors d’un séminaire à Berkeley, aux États-Unis. Laurent Fargues avait construit quelques années plus tôt, avec Jean-Marc Fontaine, un étrange objet, une courbe du domaine p-adique. En entendant Scholze décrire ses perfectoïdes lors du séminaire, il a l’intuition que l’exploit est possible : grâce à une notion dérivée des perfectoïdes, les diamants, on peut peut-être construire l’espace sous-jacent à son étrange courbe pour s’attaquer à ce défi mythique de Langlands – une approche, là encore, très grothendieckienne. 

Le défi avait été lancé en 1967. “Robert Langlands expose dans une lettre ses idées sur un lien possible entre des mondes qui a priori n’en ont aucun”, résume Anne-Marie Aubert. D’un côté, le mathématicien canadien regarde les “groupes de Galois”, une structure décrite par Évariste Galois, mort à 20 ans, en 1832, qui permet de s’attaquer aux équations antiques chères à Pythagore et Diophante en s’intéressant aux relations entre ces solutions plutôt qu’aux solutions elles-mêmes – et qui marquent sans doute l’entrée des maths modernes dans les chemins de l’abstraction. De l’autre côté, il regarde les “formes automorphes”, des fonctions continues, qui appartiennent au domaine des nombres réels, de l’analyse, et dont la particularité est d’avoir beaucoup de symétries.

Un monument de 350 pages

Ces objets, a priori, n’ont rien à voir, mais il constate une coïncidence : les tableaux de nombres avec lesquels chacun de ces objets peut être décrit (des “matrices”) sont les mêmes deux à deux. Que signifie ce lien caché entre objets arithmétiques et objets analytiques ?

“Langlands est le premier à entrevoir une correspondance profonde entre deux domaines aussi vastes à partir de cas particuliers, souligne Vincent Pilloni. Pendant des siècles, ces domaines ont évolué en parallèle sans lien apparent… et puis un jour, on découvre que ça se rejoint. C’est fou.”

Sauf que cette question sur une coïncidence qui n’en est pas une se révèle très difficile à prouver, voire même seulement à attaquer. “Au début, témoigne Alexis Bouthier, la correspondance paraissait artificielle. On n’avait pas le niveau de compréhension pour l’appréhender. Il a fallu cinquante ans pour commencer à comprendre pourquoi elle arrive naturellement dans la machine mathématique, pourquoi elle n’est pas si arbitraire, pourquoi elle marche.” Et cela passe par la “géométrisation” du programme de Langlands dans les années 1980, impulsé par l’Américano-Ukrainien Vladimir Drinfeld, qui permet de déployer sur ces conjectures l’énorme boîte à outils développée par Grothendieck. 

Au centre de la scène

C’est sur cette base qu’après sept ans de collaboration, Laurent Fargues et Peter Scholze dressent leur monument de 350 pages… qui ne démontre en fait qu’une petite partie de la conjecture de Langlands. Cela reste pourtant une consécration. “La formulation de Robert Langlands en 1967 est classique : juste des cas ponctuels du côté galoisien et du côté formes automorphes, qui se correspondent deux à deux. Scholze a enrichi la correspondance : aujourd’hui on a des configurations plus élaborées, plus structurées, qui correspondent à de belles structures de l’autre côté”, décrit Anne-Marie Aubert.

“Ce n’est pas tant le fait de démontrer la conjecture qui importe, car elle semble si réelle qu’on la tient pour telle ; ce qui intéresse avant tout est le chemin mathématique qui y conduira et sera riche en nouveautés”, commente Vincent Pilloni, qui se prend à rêver : “J’espère la voir démontrée avant la fin de ma vie.”

Le chercheur note que les travaux de Scholze “irradient de plus en plus hors de la thématique de Langlands, dans des domaines connexes”. Alexis Bouthier partage cet avis : “Ça prend de telles proportions que son travail atteint potentiellement de larges domaines des mathématiques.”

Au centre de la scène, à la fois seul et très entouré, il y a donc Peter Scholze, qui continue de chercher le spectre des entiers. “Spec(ℤ) est plutôt un symbole pour les mathématiciens, une direction vers laquelle tendre plus qu’un objet à exhumer entièrement”, conclut Antoine Bourget. 

Finalement, tel est peut-être le lot de tous les humains : chasser des spectres, tout en inventant sa vie.

LES PERFECTOÏDES
Des espaces pour voyager entre des géométries

Les perfectoïdes sont la première grande création géométrique de Peter Scholze. Et tous les mathématiciens qui les ont vus en témoignent : c’est très beau !

À quoi cela ressemble ? Pas de chance pour les profanes, leur forme est plutôt… indescriptible. “C’est un espace infiniment replié sur lui-même”, tente vaguement Benoît Stroh. Les spécialistes conseillent en fait d’abandonner l’idée de s’en faire une description imagée. Et pour cause, toutes les images que nous avons en tête appartiennent à un autre genre d’univers, celui des nombres réels.

Une droite, un plan, une sphère… derrière ces espaces familiers, ou plutôt en leur cœur, se cachent ces réels, qui possèdent chacun une infinité de chiffres après la virgule, et dont la densité permet de remplir les lignes, les surfaces et les volumes. Les perfectoïdes, eux, se déploient sur un système de nombres alter­natif : les nombres p-adiques.

Ces nombres forment en quelque sorte un système numérique intermédiaire entre les entiers et les réels. Contrairement au système des nombres réels, celui des nombres p-adiques permet de traiter des questions d’arithmétique ou de théorie des nombres. Et contrairement au système des entiers ou des fractions, on peut y mesurer des distances, calculer des dérivées, faire des sommes infinies, bref, travailler avec les puissants outils de l’analyse géométrique. Les perfectoïdes sont des espaces parfaits pour déployer une telle géométrie p-adique.

Dans l’univers des réels coexistent différents mondes, en particulier un monde “de caractéristique nulle ” et un monde “de caractéristique non-nulle” – une propriété complexe à illustrer, mais qui signe un véritable partage des eaux entre deux grands types d’ensembles distincts. Dans l’univers p-adique, on retrouve les mêmes. Mais là, les multiples facettes des perfectoïdes permettent de les connecter : ce sont comme des trous de ver par lesquels le mathématicien peut faire transiter un problème, le résoudre dans le monde où les conditions sont les meilleures, puis le refaire traverser pour revenir au monde de départ. “Ils permettent de transposer des questions d’un monde à un autre, et donc de choisir celui où la question est le plus abordable”, résume Alexis Bouthier. Et pour un mathématicien, c’est magnifique.

LES ENSEMBLES CONDENSÉS
Ils révèlent les structures profondes de l’analyse

C’est le plus fascinant des concepts conçus par Peter Scholze, en collaboration avec Dustin Clausen. Et autant le dire tout de suite, pas grand monde à part ses créateurs n’en maîtrise encore vraiment les contours… “Ce n’est pas un objet, c’est un point de vue”, commence par préciser Alexis Bouthier. Un point de vue qui voit tout de très, très haut.

L’objectif des mathématiques condensées, explique Dustin Clausen, est d’“algébriser l’analyse”. La stratégie est de regarder de tellement haut les objets classiquement utilisés dans cette science de la mesure (les fonctions, les courbes, les ensembles continus) qu’on ne distingue plus leur contenu analytique : on ne voit plus que les relations qu’ils tissent entre eux. C’est une sorte de tour de passe-passe réalisé grâce à la magie de la théorie des catégories : de là-haut, seul se distingue ainsi un réseau de “flèches” indiquant un type de relation entre les objets vus comme des points sans épaisseur. Ce qui compte, c’est donc la structure que dessine ce réseau, un graphe ne combinant que les sommets et les flèches : si la structure formée par ces graphes est la même pour deux univers mathématiques éloignés, alors ils peuvent être unifiés sous une même catégorie. Et cette manière de cacher dans des boîtes noires les aspects particuliers de l’analyse, comme la continuité, pour ne laisser apparaître que des propriétés combinatoires de l’algèbre permet de résoudre un tas de problèmes qui traînaient ici et là en topologie, en géométrie, selon ce qu’on met dans les boîtes noires.

Pour réaliser cela, Scholze et Clausen se sont appuyés sur la théorie des catégories développée surtout par Grothendieck. “Les briques des mathématiques condensées sont les ensembles-limites d’une infinité d’ensembles finis de base”, enchaîne Dustin Clausen. Un peu comme les nombres réels, qui peuvent s’écrire avec un nombre infini de nombres entiers allant de 0 à 9, chacun situé à une place ­derrière la virgule : chaque réel peut donc être vu comme l’ensemble-limite d’une infinité d’ensembles finis (0, 1,…, 9). Or, les nombres réels sont du côté de l’analyse et les entiers de celui l’arithmétique. 

Avec les mathématiques condensées, Scholze et Clausen ont trouvé le moyen de réunir l’analyse et l’arithmétique en une seule vision. Mais il ne faut pas souffrir de vertige…

LA CORRESPONDANCE P-ADIQUE DE LANGLANDS
Elle unifie algèbre et analyse

Cette correspondance établie par Laurent Fargues et Peter Scholze est un incroyable méandre qui passe par tous les domaines des mathématiques. 

En son cœur, les problèmes antiques de résolution des équations polynomiales – trouver par exemple deux fractions qui vérifient 3x² + 5y² = 12. Des problèmes qui ont été traduits en pure algèbre : la résolution de ces équations passe maintenant par l’étude du groupe de Galois qui leur est associé. En 1967, Robert Langlands relie cela avec des objets du monde analytique qui n’ont, a priori, rien à voir : il demande de prouver qu’à chaque groupe de Galois correspond une “forme automorphe” et une seule, et vice-versa. Arithmétique, algèbre, analyse : cette correspondance est depuis au cœur des mathématiques pures. Mais la difficulté à la démontrer a conduit les mathématiciens à ne plus se poser cette question en termes de nombres, mais en termes de fonctions et de courbes, des objets plus souples, sur lesquels il est possible d’utiliser l’arsenal de la géométrie. À partir de 2012, le mathématicien français Vincent Lafforgue réussit ainsi à établir une partie de cette inter­prétation géométrique de la correspondance de Langlands, du côté des fonctions.

La démonstration de Fargues et Scholze se situe, elle, du côté des p-adiques. Il s’agit d’un système alternatif, mais il est très proche des nombres entiers et réels visés par Langlands. Il s’agit donc d’un véritable exploit. “C’est quelque chose qu’on ne savait pas faire”, dit Vincent Pilloni.

“Scholze a fait le pont quand il s’est rendu compte qu’ils pouvaient, à partir des perfectoïdes, transférer tout ce qui existait déjà dans l’interprétation géométrique du programme de Langlands vers le monde p-adique”, explique Alexis Bouthier. L’un a apporté ses perfectoïdes qui permettent de faire de la géométrie dans le monde p-adique ; l’autre un étrange objet, la “courbe de Fargues et Fontaine”, qui n’est pas vraiment une courbe, mais qui rend possible de travailler comme si on était du côté des fonctions. Et grâce au travail préalable de Vincent Lafforgue, ils ont réussi à relier le monde de Galois au monde automorphe. “Seulement dans un sens, pointe Vincent Pilloni. Le sens automorphe vers Galois. On ne doute pas de la réciproque, c’est seulement qu’on manque encore d’idées pour la démontrer.”

Le méandre est ébouriffant. Mais les mathématiques en ressortent plus unifiées que jamais.