Mathématiques : la démonstration historique

Même si tout le monde s’en doute, autant le dire clairement tout de suite : le texte mathématique dont il est question ici est très, très difficile à lire, y compris pour les meilleurs experts mondiaux. C’est même tout simplement impossible pour les néophytes, voire pour les mathématiciens professionnels qui ne sont pas spécialistes en “foncteurs de Hecke” et en “cohomologie de De Rham”. Reste que l’annonce est faite : une partie du programme de Langlands est démontrée – “la version géométrique, en caractéristique nulle et dans le cas non ramifié”, précisent les puristes.

Mis en ligne le 15 septembre, le dernier papier d’une série de cinq pose la clé de voûte d’une véritable cathédrale de concepts et d’idées mathématiques qui laisse la communauté aussi admirative qu’enthousiaste. Ils ont été neuf chercheurs à la manœuvre. Dennis Gaitsgory, qui bataille depuis plus de trente ans pour établir ce résultat, en est l’acteur central, aidé depuis les années 2010 par Sam Raskin, son ancien étudiant de thèse devenu étroit collaborateur, puis par sept autres mathématiciens talentueux.

“C’est un résultat très important”, admire Vladimir Drinfeld, professeur de mathématiques à l’université de Chicago. “C’est majeur !, abonde Vincent Lafforgue, chercheur CNRS à l’université Paris Cité. C’est le résultat le plus complet, le plus conceptuel qui ait été démontré dans le programme de Langlands.”

Ce “programme de Langlands”, c’est un ensemble d’idées, de concepts, de directions de recherche, dont le but est de bâtir des ponts entre des domaines des mathématiques a priori disjoints. “Le programme prend ses racines il y a plus de deux siècles, mais il a fallu attendre les années 1960 pour commencer à avoir une formalisation claire de ce dont il s’agissait”, retrace Vincent Lafforgue.

Ce qui est miraculeux avec la correspondance de Langlands, c’est que des questions extrêmement difficiles d’un côté deviennent faciles quand on les fait passer de l’autre côté du miroir !

Depuis, il est devenu incontournable dans ce que beaucoup considèrent comme la discipline mère des mathématiques : l’arithmétique. “Quand on fait de la théorie des nombres aujourd’hui, quel que soit le centre d’intérêt qu’on a, on ne peut pas échapper au programme de Langlands”, tranche Michael Harris, professeur de mathématiques à l’université Columbia, aux États-Unis, qui travaille autour de ces thématiques depuis près de cinquante ans.

Exemple emblématique : c’est en établissant un cas très particulier de ce programme que le mathématicien Andrew Wiles a fait tomber, en 1994, l’un des problèmes les plus anciens et les plus fameux de la discipline, le théorème de Fermat. Et qu’il est devenu une star mondiale.

De quoi saisir la puissance du programme. L’énoncé du défi de Fermat, qui est facile à comprendre, même pour les non-initiés, relève de l’arithmétique : il s’agit de démonter qu’il n’existe pas de cube (comme 8 = 2³, ou 64 = 4³) qui soit la somme de deux autres cubes (et idem pour les exposants supérieurs). Andrew Wiles, aidé par son ex-étudiant de thèse Richard Taylor, réussit l’exploit en transposant ce défi issu de la théorie des nombres dans un tout autre domaine des mathématiques : l’analyse.

D’un monde à l’autre

Vincent Lafforgue résume : “Grosso modo, le programme de Langlands cherche à faire correspondre des objets analytiques et des objets arithmétiques. Le théorème de Fermat est un énoncé qui concerne les objets du côté arithmétique, et il a été démontré grâce aux objets du côté analytique, en utilisant une petite partie de la correspondance de Langlands pour pouvoir passer d’un monde à l’autre.”

En mathématiques, il n’est pas rare de mettre en relation des ensembles d’objets différents. Mais en général, on ne simplifie pas vraiment les questions lorsqu’on les transpose d’un monde à l’autre. Ce n’est pas le cas ici. “Ce qui est miraculeux avec la correspondance de Langlands, c’est que des questions extrêmement difficiles d’un côté deviennent faciles quand on les fait passer de l’autre côté du miroir !”, admire Benoît Stroh, professeur à Sorbonne Université.

Avant même d’envisager de le démontrer, comprendre ce que dit le programme de Langlands géométrique, c’est déjà beaucoup de travail !

Depuis sa première formulation par Robert Langlands en 1967, dans une lettre adressée au mathématicien français André Weil, le programme s’est considérablement étoffé. En particulier, alors que Robert Langlands était principalement motivé par des questions de théorie des nombres, trois mathématiciens ont développé dans les années 1980 une version “géométrique” du programme. Pour Vladimir Drinfeld, Gérard Laumon et Alexander Beilinson, il ne s’agissait plus de bâtir un pont entre des objets arithmétiques et des objets analytiques, mais de relier entre eux des objets de nature géométrique. Attention toutefois : rien à voir avec des triangles ou des cubes… La géométrie mobilisée ici est extrêmement abstraite, et les notions en jeu dans les énoncés font partie des plus complexes des mathématiques contemporaines : faisceaux, catégories, infini-catégories… “Au XX^e siècle, le terme ‘géométrie’ a pris un sens extrêmement élastique, à tel point qu’il n’est pas toujours facile de savoir précisément de quoi on parle”, note Arthur-César Le Bras, chercheur CNRS à l’université de Strasbourg. “Avant même d’envisager de le démontrer, comprendre ce que dit le programme de Langlands géométrique, c’est déjà beaucoup de travail !”, s’amuse Michael Harris.

Une longue bataille

C’est donc ce pendant géométrique du programme de Langlands qui vient en grande partie de tomber, au terme d’une longue bataille. Les auteurs ont en particulier dû se débattre avec de méchantes histoires de famille entre “groupes cousins qui ne se parlent pas beaucoup, comme en témoigne Sam Raskin. L’un apparaissait d’un côté de la correspondance, l’autre de l’autre côté… Et on n’avait pas de bonne compréhension géométrique de la façon de passer de l’un à l’autre…” C’est donc à grands coups de bibliographie que l’équipe a patiemment tissé les liens manquants. “La démonstration repose de manière centrale sur de très nombreux travaux antérieurs, insiste le chercheur. Il a fallu des décennies pour développer les objets mathématiques que nous utilisons.”

De quoi émerveiller Vincent Lafforgue, fin connaisseur du sujet : “Si le programme de Langlands géométrique a fini par tomber, c’est qu’il a été submergé par une marée montante de résultats et de concepts nouveaux.” Arthur-César Le Bras insiste : “C’est un vrai travail de fondements qui a été mené, et je pense que beaucoup de gens vont maintenant se pencher sur ces nouveaux outils pour tenter de voir comment les utiliser ailleurs.”

Dans le détail

“Si la preuve s’avère correcte, alors ce sera un très grand résultat en mathématiques, qui aura beaucoup de conséquences, abonde le mathématicien Sergey Lysenko, professeur à l’Institut Élie Cartan de Nancy. Mais il faut vérifier la démonstration, au moins dans les grandes lignes.” Vladimir Drinfeld, lui aussi, prévient : “J’espère que la preuve est correcte, mais il serait sans doute prudent d’attendre que quelqu’un la lise très attentivement.”

Mais dans l’ensemble, la communauté est très optimiste. Les auteurs ont déjà donné plusieurs conférences pour exposer les grandes idées derrière leur preuve, ainsi que la structure de la démonstration. “Peu de gens comprennent tous les détails, mais beaucoup saisissent les grandes lignes, assure Vincent Lafforgue. Et ce qui donne confiance dans le résultat, ce sont les nombreuses cohérences internes qu’on observe. La démonstration ne fait pas appel à une astuce : c’est toute une théorie qui permet d’arriver à la conclusion. Le niveau de confiance est donc très élevé.”

Nul doute, en tout cas, qu’une tâche ardue attend les relecteurs qui seront chargés d’évaluer les cinq articles, lorsque ceux-ci seront soumis pour publication dans une revue. “Il y a des discussions en cours pour savoir où soumettre”, confie Sam Raskin. En attendant, les résultats prennent déjà leur envol : “J’ai un projet en cours qui utilise de façon cruciale une conséquence de ces travaux”, assure Michael Harris. Il n’est sans doute pas le seul…