L’équation de Boltzmann est démontrée !

Le 30 octobre 2025 est paru sur le site de la prestigieuse revue Annals of Mathematics un article cosigné par trois mathématiciens, Yu Deng, Zaher Hani et Xiao Ma. Son titre : “Dérivation en temps long de l’équation de Boltzmann à partir de la dynamique des sphères dures”. Et cela a été unanimement salué par les spécialistes du monde entier, à grand renfort de superlatifs : “spectaculaire”, “un vrai tour de force”, “très impressionnant”, “on vient de vivre un moment potentiellement historique”…

Dès la mise en ligne de la première version du texte, en août 2024, la nouvelle avait fait grand bruit dans la communauté mathématique. “Quand j’ai reçu ce papier, je ne m’y attendais pas du tout ! Je m’y suis tout de suite plongée et j’ai consacré énormément de temps à le lire”, raconte Isabelle Gallagher, mathématicienne à l’université Paris Cité. Lorsque Yu Deng est venu à Lyon, au mois de septembre 2024, pour exposer ces travaux, l’organisateur du séminaire avait contacté tous les laboratoires de recherche de la région pour les avertir – Basile Morando, alors doctorant à l’UMPA, se souvient de l’excitation générale : “Je n’ai jamais vu ça au labo…”

Révolutionnaire

Le papier était pourtant encore loin de faire l’unanimité. “Le résultat a l’air profond, mais il faut le contrôler”, nous confiait à l’époque Mario Pulvirenti, chercheur émérite à l’université Sapienza de Rome. “Il est extrêmement difficile de vérifier que la preuve est juste. En l’état actuel des choses, je ne peux certainement pas donner une caution scientifique”, abondait Laure Saint-Raymond, professeure permanente à l’IHES, également grande spécialiste du sujet. Cédric Villani, aujourd’hui chercheur à l’université de Rennes, lauréat de la médaille Fields en 2010 pour ses travaux dans le domaine, l’avoue également : “Au début, je n’y ai pas cru.” Il faut dire que le résultat était attendu depuis plus de cent cinquante ans. Et qu’il se place dans le sillage d’une des grandes figures tutélaires des sciences modernes : le physicien Ludwig Boltzmann.

Une dynamique irréversible

L’équation de Boltzmann, dont traite le papier de Yu Deng, Zaher Hani et Xiao Ma, est un monument de la physique moderne. Formulée en 1872 par le physicien autrichien, elle permet de décrire, en une unique équation mettant en jeu une fonction à sept variables, l’évolution d’un gaz dilué vers une situation d’équilibre. Et c’est révolutionnaire. “La théorie cinétique des gaz de Boltzmann part du principe que, pour traiter de tels systèmes dans lesquels il y a un très grand nombre de particules en jeu, il n’est pas pertinent de suivre à tout instant l’évolution de la position et de la vitesse de chacune de ces particules, explique le physicien Clément Sire, directeur de recherche CNRS à l’université Paul Sabatier de Toulouse. À la place, on regarde des variables macroscopiques, souvent définies à l’aide d’outils probabilistes – pression, température, densité… –, qui suffisent à capturer le comportement global du système tout en réduisant sa complexité.”

En abordant ces problèmes, nous nous tenions sur les épaules de géants !

La variable “macroscopique” visée par Boltzmann est la “fonction de distribution du gaz”, qui donne à tout instant la probabilité qu’une particule choisie au hasard dans le système ait une vitesse et une position données. Et son équation relie, comme par magie, l’évolution de cette fonction avec les collisions entre les particules. “Cette équation a le mérite d’établir un lien explicite entre le microscopique et le macroscopique, ce qui est au cœur de la physique statistique”, commente le physicien théoricien Emmanuel Trizac, président de l’École normale supérieure de Lyon. Aujourd’hui encore, elle est très largement utilisée pour modéliser le comportement de la haute atmosphère, des plasmas, pour les expériences à base d’atomes froids ou même les dynamiques de populations. “Cette équation, c’était quelque chose d’incroyablement novateur et précurseur pour la fin du XIX^e siècle : c’est la première équation décrivant l’évolution d’une probabilité, ajoute Laure Saint-Raymond. Or, au XX^e siècle, cela deviendra une idée fondamentale : toute la mécanique quantique, ce sont des équations de ce type !”

Boltzmann n’emporte pourtant pas immédiatement l’adhésion de ses pairs. En particulier, il se heurte à un mur conceptuel, qui deviendra au siècle suivant un sujet absolument central : son équation dévoile une quantité physique, l’entropie, qui ne fait qu’augmenter au cours du temps. Par conséquent, elle décrit une évolution irréversible des systèmes auxquels elle s’applique. Or, à l’échelle micro­scopique, les équations de Newton qui décrivent la manière dont bougent et s’entrechoquent les particules d’un tel gaz sont, elles, réversibles… “Si je filme des collisions entre boules de billard, je ne peux pas faire la différence entre le film et le film inversé, alors que si je regarde un film de cinéma à l’envers, je verrai bien qu’il y a un problème”, illustre Emmanuel Trizac. Comment lever un tel paradoxe ? “Il est peu probable qu’on n’y parvienne jamais”, jugeait le mathématicien Henri Poincaré en 1893.

Le 6e problème de Hilbert

David Hilbert, autre géant de l’époque, exhorta tout de même les chercheurs à le faire lors du célèbre exposé qu’il présenta à Paris, en 1900, à l’occasion du Congrès international des mathématiciens. Dans sa liste de 23 problèmes ouverts censés guider les recherches du siècle à venir, le sixième, par sa formulation et son objet, tient une place particulière : il s’agit de développer un “traitement mathématique des axiomes de la physique”. “Le sixième problème relève davantage d’un projet de recherche un peu vague que d’un véritable problème au sens mathématique, commente Mario Pulvirenti. En réalité, on peut placer sous son égide beaucoup de questions difficiles et profondes.” Mais Hilbert précise sa pensée en prenant l’équation de Boltzmann comme emblème : “Les travaux de Boltzmann suggèrent le problème de développer mathématiquement les processus limites par lesquels on obtient, partant d’une vision atomiste, les lois du mouvement des milieux continus.”

En somme, Hilbert invite ses contemporains à justifier mathématiquement, le fait qu’un système régi par des lois réversibles à l’échelle microscopique puisse être décrit à plus grande échelle par des équations produisant une dynamique irréversible. Il appelle à asseoir sur la rigueur formelle des mathématiques le fait que les descriptions d’un même système à différentes échelles recouvrent bien la même réalité. Avec l’idée que les mathématiques sont, en définitive, le socle le plus solide de la connaissance scientifique. “Pour Hilbert, donner des fondements mathématiques à la physique, c’est l’espoir de lui donner toute sa dimension de science !”, analyse l’historien des mathématiques Laurent Mazliak, chercheur au LPSM à Paris. C’est une question de principe.

La preuve est un véritable tour de force technique. Les auteurs s’engouffrent dans les calculs comme des brutes, ils n’ont pas peur… et ça fonctionne

Cela fait bien longtemps que l’entropie ne pose plus problème aux physiciennes et physiciens. “Dans ces systèmes, la dynamique microscopique est réversible, c’est comme ça”, pose Emmanuel Trizac. “Mais il n’y a pas de contradiction à représenter cette dynamique, à plus grande échelle, par une équation qui encode de l’irréversibilité”, ajoute Laure Saint-Raymond. Car en changeant d’échelle, on fait une moyenne, donc on perd une partie de l’information du système… qui fait défaut si l’on veut revenir en arrière, d’où l’irréversibilité. Le phénomène intéressant et fascinant, c’est qu’une telle description moyennée suffit en fait à décrire les trajectoires observées physiquement : “Les conditions initiales produisant une dynamique qui n’est pas capturée par cette équation sont extraordinairement rares”, poursuit la mathématicienne. Pour autant, une preuve mathématique rigoureuse – et, surtout, valable sur le bon intervalle de temps – de ce phénomène faisait jusqu’ici défaut. “Il était pourtant essentiel d’avoir cette preuve pour espérer mieux comprendre l’écoulement du temps dans les modèles statistiques”, commente Cédric Villani.

Des boules de billard

C’est cette prouesse que Yu Deng, Zaher Hani et Xiao Ma viennent de réaliser à travers près de 200 pages de démonstration d’une immense technicité. Car après des centaines d’heures de relecture par des pairs et deux réécritures successives du texte, la chose est maintenant démontrée : oui, l’équation de Boltzmann est bien la limite d’une description microscopique d’un gaz dilué selon le modèle des “sphères dures” – une modélisation extrêmement simple et classique, dans laquelle les particules du gaz sont représentées par des sphères qui rebondissent sans se chevaucher, à la manière de boules de billard. Comme le résument les trois mathématiciens dans leur publication, ils ont réussi à “dériver rigoureusement l’équation cinétique de Boltzmann à partir d’un système de sphères dures pour les gaz raréfiés, dérivation valide pour des temps arbitrairement longs tant qu’une solution régulière à l’équation de Boltzmann existe”. Et la grande nouveauté dans ces travaux, c’est la validité du théorème sur “un temps arbitrairement long”.

Car dès les années 1970, Oscar Lanford avait réussi à démontrer cette limite, mais sa preuve n’était valable que sur un temps très court. “Si l’on regarde l’évolution d’un cube d’atmosphère à température ambiante, le théorème de Lanford ne permet de justifier rigoureusement le passage d’un modèle à l’autre que sur une durée de 10^-9 seconde”, détaille Corentin Le Bihan, chercheur à l’université libre de Bruxelles.

Comment aller au-delà ? Certains cas particuliers étaient bien tombés sous les assauts des spécialistes, en particulier français et italiens. À la fin des années 1980, Reinhard Illner et Mario Pulvirenti avaient traité en temps long les cas “proches du vide”. Plus récemment, Laure Saint-Raymond, Isabelle Gallagher, Thierry Bodineau et Sergio Simonella avaient fait tomber les cas “proches de l’équilibre”. “Ce sont des articles importants, qui ont marqué la communauté”, salue Cédric Villani. Zaher Hani rend d’ailleurs hommage à ses prédécesseurs dans le domaine :  “En abordant ces problèmes, nous nous tenions sur les épaules de géants !” Mais les nouveaux travaux sont d’une tout autre portée. “Tant qu’une solution régulière à l’équation de Boltzmann existe, nous démontrons que toutes les limites permettant de passer du modèle des sphères dures à l’équation de Boltzmann sont bien justifiées sur le plan mathématique”, résume Yu Deng. 

Il faudra sans doute des années à la communauté cinétique pour digérer cette preuve et ses implications

Plus de restrictions sur la durée de validité. “C’est le progrès le plus significatif depuis que je travaille dans ce domaine”, admire Cédric Villani. L’exploit est d’autant plus remarquable que les trois chercheurs ne s’intéressaient pas à l’origine à l’équation de Boltzmann : ils travaillaient depuis une dizaine d’années sur la théorie cinétique des vagues, notamment des phénomènes de turbulence. “En quelque sorte, nous traitions des questions analogues, mais dans des systèmes où les particules sont remplacées par des vagues et les lois de Newton par des équations aux dérivées partielles”, explique Zaher Hani. C’est en remarquant cette analogie que leur est venue l’idée d’appliquer leurs méthodes.

Comme le roulement des vagues

Dans les grandes lignes, leur preuve reprend la structure de la démonstration historique de Lanford – comme la quasi-totalité des travaux des cinquante dernières années – en partant d’une situation initiale où des particules sont indépendantes les unes des autres – des conditions initiales qui garantissent que l’équation de Boltzmann s’applique bien. “Quand deux particules se rencontrent, elles perdent leur indépendance, car leur comportement est impacté par le fait qu’elles se sont percutées, explique Isabelle Gallagher. Mais l’idée du théorème de Lanford, c’est de démontrer que, quand on a un très grand nombre de particules, cette perte d’indépendance n’impacte pas la dynamique globale du système.” Tout le défi est de contrôler l’impact de ces chocs sur la dynamique globale, pour déduire l’équation de Boltzmann. “Le problème, c’est que pour démontrer le maintien global de l’indépendance entre particules, il faut garder trace, dans nos calculs, de toutes les collisions”, explique Yu Deng. Or cette trace s’inscrit dans un objet mathématique appelé une série, qu’on ne peut manipuler que sur un petit intervalle de temps – d’où le cadre d’application restreint du théorème de Lanford. 

Nous devons savoir

Pour s’affranchir de cette contrainte, Yu Deng et ses deux collègues ont découpé le temps en petits intervalles. Puis, en représentant les collisions susceptibles de briser l’indépendance globale par des graphes et en découpant astucieusement ces derniers, ils ont démontré que l’impact des collisions reste limité, et que la dynamique du système reste globalement celle de particules indépendantes. “Ils ont trouvé une nouvelle façon de comptabiliser les choses et de regrouper les différents termes dans leurs calculs, qui permet un contrôle qui était impossible”, commente Cédric Villani. Laure Saint-Raymond, qui a contrôlé la validité de la démonstration avec ses collègues Isabelle Gallagher, Thierry Bodineau et Sergio Simonella, salue la performance : “La preuve est un véritable tour de force technique. Les auteurs s’engouffrent dans les calculs comme des brutes, ils n’ont pas peur… et ça fonctionne.”

La démonstration est d’ailleurs si complexe, qu’il est difficile d’anticiper sa postérité. “Il faudra sans doute des années à la communauté cinétique pour digérer cette preuve et ses implications”, concède Cédric Villani. “Étant donné la technicité de la démonstration, il n’est pas clair que ce travail permettra rapidement d’autres avancées majeures, en tout cas au vu de ma compréhension actuelle”, soupire Isabelle Gallagher. Mais après plus de cinquante ans de résultats incrémentaux et parcellaires, le résultat est enfin là. “Du point de vue de la physique mathématique, cela résout un problème ouvert de longue date”, sourit Herbert Spohn, professeur émérite de physique statistique à l’Université technologique de Munich.

Hilbert serait ravi, lui qui fit graver sur sa tombe : “Wir mussen wissen, wir werden wissen”, “Nous devons savoir, nous saurons”. Car ce résultat est, au fond, simplement une affaire de cohérence. Presque de dignité.