Mathématiques, l'IA a eu une idée

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Cette fois, ça y est : une machine a eu une idée. Une idée originale, bonne et fertile. Et c’est un événement majeur. 

Alors que les intelligences artificielles déferlent dans tous les domaines, il est difficile d’estimer s’il y a vraiment quelque chose de nouveau dans un morceau de musique généré par Suno, un poème écrit par Claude ou une partie de go joué par AlphaGo. Idem en science : pas facile d’évaluer le degré de créativité d’une IA qui découvre un nouveau vaccin ou un nouveau matériau. En mathématiques, cela semble plus clair.

Les spécialistes des mathématiques discrètes s’accordent à dire que l’idée présentée le 20 mai par OpenAI est nouvelle – personne n’avait imaginé utiliser des espaces de dimensions de plus en plus grandes pour construire des ensembles de points à projeter dans le plan. Tout le monde s’accorde aussi à dire qu’elle est bonne – elle a permis de démontrer que la conjecture des distances unitaires formulée il y a quatre-vingts ans est fausse. Et qu’elle est fertile – une semaine plus tard, elle a permis de venir à bout de la conjecture somme-produit, vieille de plus de cinquante ans.

“Il ne fait aucun doute que cette réfutation par l’IA fera date, commente le mathémMathématiques, l'IA a eu une idéeaticien Timothy Gowers dans un texte mis en ligne le même jour que le résultat. Si cet article avait été écrit par un humain et soumis à Annals of Mathematics [la revue la plus prestigieuse du domaine], j’aurais recommandé sa publication sans hésiter.”

Dans l’absolu, ce n’est pas une grande surprise. “On avait déjà les éléments pour penser que l’IA pourrait assez rapidement résoudre des problèmes difficiles de niveau recherche, et pas seulement des problèmes qui se résolvent avec des méthodes bien balisées, analyse Sylvia Serfaty, mathématicienne à Sorbonne Université et à l’université de New York. On savait aussi que, par nature, l’IA serait particulièrement efficace pour la recherche de contre-exemples, et donc la réfutation de conjectures, car elle peut explorer de très nombreuses possibilités.” 

À la frontière

Amaury Hayat, chercheur à l’École des ponts et au Korea Institute for Advanced Study, pointe aussi l’immense déploiement de moyens derrière la prouesse : “Depuis plusieurs années, les entreprises qui développent et promeuvent les outils à la pointe de l’IA ont fait des mathématiques l’emblème de leur puissance.” Cela avait été le cas avec les échecs, le jeu de go ou, plus récemment, le repliement de protéines en biologie : “Le message, c’est : ‘Mon modèle est meilleur que celui des concurrents, parce qu’il est meilleur en maths.’” 

Il n’empêche, souligne Diaaeldin Taha, de l’Institut Max-Planck de mathématiques dans les sciences, à Leipzig : “En quelques mois, l’IA a atteint un niveau à la frontière des mathématiques connues. Elle est devenue un outil extrêmement puissant pour accélérer la recherche, d’une manière qu’il aurait été difficile d’envisager par le passé.” Et cela témoigne d’une transformation aussi profonde que rapide du domaine. Une transformation susceptible d’ébranler la manière de faire de la recherche, la sociologie de ce milieu, le rapport à la production scientifique, jusqu’à la conception de ce que sont les mathématiques, devenues bon gré mal gré le poste avancé pour observer tous les impacts de l’IA.

L’idée de cette démonstration est très belle, mais je ne qualifierais pas de “belle” la démonstration de l’IA. Elle expose l’idée d’une manière très compliquée

Cela fait déjà plusieurs mois que les modèles s’immiscent comme assistants auprès des chercheurs et chercheuses. “Des collègues s’en servent pour faire de la bibliographie, résumer des articles, préparer des notes de cours…”, énumère Luigi Ambrosio, mathématicien à l’École normale supérieure de Pise. “Je l’utilise beaucoup pour coder”, ajoute Thomas Bloom, de l’université de Manchester. “Les IA m’ont fait gagner du temps sur des travaux en m’aidant à formaliser des idées que j’avais eues pour pouvoir mieux les explorer”, témoigne Sylvia Serfaty. 

Des accélérateurs

Mais c’est autre chose de démontrer sa capacité à produire de manière autonome des résultats de haut vol. Nul doute qu’elles seront amenées à prendre une place centrale dans la recherche. “Ces outils sont des accélérateurs de la production de connaissances : ils concentrent le savoir déjà établi sur un très grand nombre de sujets, et savent en tirer le meilleur dans une temporalité ultra-contractée”, résume le sociologue Pierre-Michel Menger.

Mais cette contraction de la temporalité pose question. “Dans mon domaine, les mathématiques formelles, on est inondés de contributions générées par IA, qui demandent un temps énorme de vérification et sont, le plus souvent, de piètre qualité”, fulmine Patrick Massot, du Laboratoire de mathématiques d’Orsay. Car même si les IA ont démontré leur capacité à produire des raisonnements de pointe, elles font encore, à l’heure actuelle, de grossières erreurs. “Il y a une dissociation entre la puissance de l’outil et son caractère non-linéaire, commente Pierre-Michel Menger. Il est tout à la fois capable de faire des erreurs basiques et d’atteindre des sommets.” À cela s’ajoute un constat imprévu : même quand leurs productions mathématiques sont de grande qualité, les IA sont particulièrement mauvaises pour faire l’exégèse de leurs propres raisonnements. 

En mathématiques, les questions ne tombent pas du ciel, elles ont à voir avec l’intuition. Peut-on concevoir une intuition artificielle ?

Will Sawin revient sur la réfutation de la conjecture des distances unitaires : “L’idée de cette démonstration est très belle, mais je ne qualifierais pas de “belle” la démonstration écrite par l’IA. Elle expose l’idée d’une manière très compliquée, qui la rend difficile à comprendre. L’IA est forte pour avoir des idées, mais pas pour les expliquer. Elle ne sait pas identifier les points clés. Ce n’est pas nécessairement ce que j’aurais anticipé.”

L’autre sujet majeur, bien sûr, c’est l’impact social de ces nouveaux outils. À court terme, pour le recrutement de jeunes chercheurs et chercheuses, et à plus long terme, pour la subsistance de l’ensemble du domaine de recherche. “Produire des papiers qui consistent à combiner des connaissances déjà établies pour résoudre des problèmes ouverts mais peu difficiles, cela fait partie de la formation des futurs chercheurs et chercheuses”, rappelle Luigi Ambrosio. Or, en recherche, le nombre de publications est central dans l’évaluation – en particulier pour le recrutement à des postes universitaires. Les IA sont devenues surpuissantes pour traiter ces problèmes de combinaison de connaissances préexistantes : quelle place laisseront-elles aux étudiants, doctorants et post-doctorants dans la production de ces résultats accessibles ? “Derrière l’idée qu’on accélère la production de connaissances se cache l’idée que l’on n’a plus besoin d’autant de monde pour produire le savoir, analyse Pierre-Michel Menger. Il restera sans doute de la place pour les meilleurs, mais qu’adviendra-t-il des autres ? C’est une question majeure pour la capacité à progresser dans une carrière de recherche.”

Et la traçabilité du savoir ?

Le métier va changer, mais pas forcément en pire, juge Jean-Michel Kantor, mathématicien et historien de l’IA à l’Institut de mathématiques de Jussieu, à Paris : “Il y a quelques années, alors que les réseaux de neurones avaient fait des progrès énormes dans la lecture d’images médicales, Geoffrey Hinton, l’un des pères de l’IA, avait prédit que les machines remplaceraient les radiologues. Il n’en a rien été : c’est la collaboration entre les humains et ces outils qui a dominé.” Luigi Ambrosio approuve : “Je pense que ces interactions humains-IA sont bénéfiques, et que la machine ne pourra pas remplacer l’humain.”

Une confiance qui repose notamment sur le scepticisme d’une partie des spécialistes quant à la capacité de l’IA à définir son propre programme de recherche. “En mathématiques, les questions ne tombent pas du ciel, elles ont à voir avec l’intuition, reprend Jean-Michel Kantor. La question est donc : peut-on concevoir une intuition artificielle ?” 

Bon nombre de spécialistes prédisent un glissement dans les compétences qui seront requises et valorisées pour faire de la recherche assistée par IA : “Les chercheuses et chercheurs seront peut-être progressivement remplacés par des couples ingénieur-machine”, suggère Pierre-Michel Menger. “Peut-être que cela sera l’occasion de valoriser davantage le travail de communication et d’enseignement des mathématiques à d’autres humains, qui est aujourd’hui sous-valorisé par rapport au fait de démontrer des résultats”, s’interroge Thomas Bloom.

Déclaration de Leiden

La traçabilité du savoir et l’attribution de crédit scientifique restent un point de crispation majeur. “C’est terrifiant de se dire que les IA risquent de priver de travail des gens dont on a volé la production pour pouvoir les entraîner, s’offusque Patrick Massot. Dans l’esprit de la science ouverte, on a mis énormément de choses à disposition sur Internet, en n’imaginant pas que ça allait être utilisé pour entraîner des IA sans aucune forme d’attribution de crédit.” Un point qui a été mis en avant dans la déclaration de Leiden, publiée le 2 juin, et qui compte déjà près de 3 000 signataires, dans laquelle la communauté mathématique met en garde contre les risques liés au déploiement de l’IA dans leur milieu. La “menace sur le système traditionnel d’attribution [de crédit pour les résultats scientifiques]” est le deuxième risque identifié – juste après la production rapide et massive de résultats incorrects. Mais la déclaration de Leiden ne dit pas un mot sur un autre enjeu : l’impact écologique de ces outils. “L’IA, c’est les impacts environnementaux du numérique sous cocaïne : elle rend tout pire !”, résume David Ekchajzer, contributeur à plusieurs études de l’Ademe.

Par-delà ces considérations techniques, sociales, sociologiques, éthiques et écologiques, l’irruption de l’IA dans les mathématiques de haut niveau pose aussi des questions d’ordre esthétique. “La créativité repose sur deux piliers : la production de nouveauté et la valeur de cette production, analyse Pierre-Michel Menger. La nouveauté peut être incrémentale ou radicale, mais il y a des procédures pour l’étalonner. La valeur est une notion plus compliquée. Qui sont les juges ? Combien faut-il en persuader pour décréter la valeur d’une nouveauté ?”

Brin de folie

Un critère souvent retenu est la capacité d’une production à servir de point de départ à de nouvelles recherches. À ce titre, la réfutation de la conjecture des distances unitaires semble avoir clos le débat : oui, les IA sont capables de créativité. Mais pour l’instant, la sensibilité à l’abstraction conceptuelle des mathématiques semble encore être l’apanage des humains. 

“Pour les machines, les mathématiques ne sont que des corrélations et de la causalité, souligne Luigi Ambrosio. Or il y a aussi une dimension conceptuelle qui nécessite de se représenter les objets. Je pense que cela ne pourra pas être pris en charge par les machines, car il leur manque un ancrage dans notre monde matériel.” 

Un avis partagé par le philosophe Alexandre Gefen, directeur de recherche CNRS à l’université Sorbonne Nouvelle : “L’IA fonctionne en faisant des moyennes, elle ne peut pas spontanément dériver. Sans connexion avec le sensible et l’expérience de l’urgence humaine, tant qu’elle ne pourra pas être un peu atypique, un peu folle, je pense qu’il lui restera des limites.” Vœu pieux ou lucidité ? Chacun se garde bien de formuler des certitudes. “Le problème avec l’IA, c’est que si l’on en reparle dans trois mois, ce qu’on se sera dit aujourd’hui risque d’être totalement dépassé”, sourit Pierre-Michel Menger. “Au passage, j’expérimente depuis quelques jours le nouveau modèle Fable de Claude, et il est assez incroyable”, nous glisse au dernier moment Sylvia Serfaty.

Bienvenue dans le nouveau monde des idées artificielles.