"Beaucoup de conjectures mathématiques sont fausses"

Epsiloon : Selon vous, mathématiciennes et mathématiciens devraient avoir moins con­fiance dans la véracité de leurs conjectures ?

Igor Pak : Oui. Pour essayer de comprendre les objets mathématiques, on formule des énoncés qu’on pense être exacts même si l’on n’arrive pas à les démontrer. C’est notre méthode de travail, cela nous aide à orienter nos recherches. Il n’en demeure pas mois qu’une fois une conjecture formulée, il existe bien deux cas de figure possibles : soit elle est vraie, soit elle est fausse. Or je pense que nous avons trop tendance à oublier cette seconde possibilité.

Epsiloon : Pourtant les spécialistes se fondent souvent sur des démonstrations partielles, qui semblent pouvoir donner confiance dans ces conjectures.

Igor Pak : De nombreux énoncés sont vrais dans des cas particuliers, mais faux dans le cas général. Quand on n’arrive pas à aborder une conjecture dans sa ­globalité, il est naturel de vérifier si elle est valide dans certains cas précis, plus faciles à traiter. On le voit beaucoup dans mon domaine de recherche, la combinatoire : les chercheuses et les chercheurs testent d’abord les conjectures sur des structures avec peu d’éléments. Mais ces cas particuliers enseignent peu de choses sur le cas général. Et s’il n’y a pas une raison fondamentale pour que tous les cas se comportent à l’identique, alors il existera un contre-exemple. Et un seul contre-exemple suffit à invalider une conjecture.

Epsiloon : Pensez-vous que la majorité des ­conjectures actuelles sont inexactes ?

Igor Pak : Je ne dirais pas la majorité, car il est difficile de faire des statistiques sur ce sujet. En revanche, je pense que les mathématiciennes et les mathématiciens ne mettent pas assez d’énergie à essayer de démontrer que des conjectures sont fausses, en comparaison des efforts qu’ils déploient pour démontrer qu’elles sont vraies. Au risque de paraître fou, il me semble par exemple essentiel que certaines personnes essaient d’invalider l’hypothèse de Riemann, qui est le cas par excellence d’une conjecture que l’immense majorité des spécialistes croient vraie.

Epsiloon : D’où vient selon vous cette asymétrie ?

Igor Pak : Nous n’aimons pas démontrer des négations, c’est un biais culturel dans notre manière de faire de la recherche. Nous avons aussi tendance à oublier que les mathématiques sont ancrées dans un contexte historique : beaucoup de vieilles conjectures ont été formulées dans un monde où les mathématiques étaient très différentes d’aujourd’hui. Nous remettons peu en cause la croyance historique dans la véracité des énoncés, alors même que l’état de l’art change en profondeur. Les choses sont d’ailleurs peut-être en train d’évoluer, notamment avec le développement d’intelligences artificielles spécifiquement conçues pour tenter d’invalider des conjectures. Pour l’heure, ces IA ne s’attaquent qu’à des problèmes relativement abordables… mais elles ont tout de même permis de trouver des contre-exemples à certaines conjectures jus­qu’alors non résolues.

Epsiloon : Une conjecture invalidée, n’est-ce pas une forme d’échec pour les mathématiques ?

Igor Pak : Au contraire ! Une démonstration négative est souvent riche d’enseignements. Trouver un bon contre-exemple à une conjecture fausse est même parfois plus instructif que de démontrer une conjecture vraie, car cela signifie que les objets en jeu sont plus complexes, plus subtils, plus variés que ce que suggérait l’énoncé. Et cela les rend encore plus intéressants. Plus que les énoncés, c’est bien la nature des objets qui nous ­intéresse en mathématiques. Un exem­ple récent l’illustre parfaitement : Rachel Greenfeld et Terence Tao ont invalidé, en 2022, une célèbre conjecture dite “de pavage périodique”. Leurs travaux apportent non seulement un point final à une question ouverte, mais surtout une compréhension complète du sujet et des raisons pour lesquelles l’énoncé est faux. C’est le type de recherche que j’admire beaucoup, et qui me semble faire considérablement progresser les mathématiques.