Comment notre cerveau perçoit l’espace

Nous percevons instinctivement l’espace autour de nous comme plat – les mathématiciens disent “euclidien”. Nous imaginons plus ou moins consciemment que la plus petite distance entre deux points est la ligne droite, que deux parallèles ne se croisent jamais, que la somme des angles d’un triangle vaut 180°. Pourtant inconsciemment, pour notre cerveau, l’espace serait hyperbolique. C’est en tout cas la très déroutante hypothèse que la neurobiologiste Tatyana Sharpee défend depuis une dizaine d’années. 

Oui, selon elle, pour élaborer ses cartographies de l’espace, indispensables pour se repérer quand on se déplace, notre cerveau utiliserait cette géométrie loin du sens commun, née dans la tête des mathématiciens et dont les cosmologistes se servent parfois pour décrire l’hypothétique forme de l’Univers. “On pourrait penser que la géométrie hyperbolique ne s’applique qu’à l’échelle cosmologique, mais ce n’est pas vrai !”, affirme la chercheuse du Salk Institute, en Californie. Le mathématicien suisse Matthieu Jacquemet, à l’université de Fribourg, savoure l’hypothèse : "Après être longtemps restée un pur objet de curiosité mathématique, on se rend compte depuis le début du siècle que la géométrie hyperbolique est partout dans les télécommunications, les réseaux électriques, la hiérarchisation des informations pour le deep learning. Et maintenant, Tatyana Sharpee nous emmène encore ailleurs.”

Un maillage

Ailleurs, et plus précisément dans l’hippocampe, une petite aire cérébrale clé pour la navigation spatiale. C’est là que se forme la carte cognitive, la représentation mentale de l’espace. À mesure que nous avançons dans un nouvel endroit, des neurones spécifiques, les cellules de lieu, s’y activent : un premier pas, et c’est une poignée de cellules de lieu qui s’allument ; un peu plus loin, d’autres prennent le relais. Plus une cellule reste activée sur une longue distance – un grand champ de lieu, comme disent les neurologues – moins le cerveau parviendra à se repérer. C’est le cas dans un endroit qu’on a traversé rapidement et qu’on ne connaît pas bien, un lieu de vacances par exemple. À l’inverse, plus le champ de lieu est petit, plus le maillage de l’environnement sera fin et plus le cerveau se repérera précisément. Comme dans un endroit qu’on connaît très bien et dans lequel on passe beaucoup de temps, notre chambre par exemple. 

Des mises à jour 

“Les cartes cognitives ont l’avantage de donner une représentation globale de l’environnement qui permet de naviguer sans repères particuliers, et d’inférer facilement de nouveaux trajets, atteste Jérôme Epsztein, à l’Institut de neurobiologie de la Méditerranée. Contrairement aux indications que donne un guide de randonnée, par exemple, où les chemins à suivre sont décrits par une succession de stimulus et de réponses – au niveau du puits, prendre à gauche –, qui obligent à faire demi-tour en cas d’erreur.” Mais comment ces cartes cognitives se construisent-elles ? Et surtout, comment se mettent-elles à jour à mesure qu’on accumule des informations toujours plus précises sur les lieux qui nous deviennent de plus en plus familiers ? “Grâce à la géométrie hyperbolique”, répond donc Tatyana Sharpee. 

Dans ce type d’espace, la somme des angles d’un triangle est inférieure à 180 °

L’idée lui est venue en regardant l’architecture des fameux champs de lieu, “une structure en réseau hiérarchique, les plus grands au sommet et les plus petits à la base”. Cette forme rappelle celle d’un arbre, avec le tronc en haut et les feuilles en bas. Pour le physicien Rémi Monasson, qui s’intéresse lui aussi à la représentation de l’espace par le cerveau, au laboratoire de physique de l’ENS, l’idée est séduisante : “Prendre en compte la distribution de taille des champs de lieu pour essayer de comprendre le codage spatial par le cerveau est très intéressant. D’autant plus qu’une structure hiérarchique a déjà été découverte au niveau d’autres neurones de la représentation spatiale, les cellules de grille.” 

Géométrie cachée

Le rapport avec l’espace hyperbolique ? “Dans ce type d’espace, la somme des angles d’un triangle est inférieure à 180°”, rappelle Matthieu Jacquemet. Un triangle a donc des côtés un peu incurvés vers l’intérieur. “Et si on pousse le raisonnement en aspirant l’air à l’intérieur du triangle, ses côtés se rejoindraient en un seul point à l’intérieur, formant ainsi un tripode, une étoile à trois branches. Or un arbre, avec son tronc et ses branches, peut être décomposé sous la forme, par exemple, de tripodes connectés entre eux.” Dès lors, le bon modèle pour réfléchir, penser, envisager la façon dont notre cerveau se représente l’espace, serait la géométrie hyperbolique. Voilà pour l’intuition. Restait à apporter des preuves expérimentales.

Comment révéler la géométrie cachée d’un espace ? En mesurant des distances, répondent les géomètres. “Pour mesurer la distance la plus courte entre deux villes dans le monde, on peut tracer une droite qui traverse la Terre, ça serait la distance euclidienne, explique Matthieu Jacquemet. Mais si on essaie d’aller effectivement d’une ville à l’autre, on se rendra compte qu’une géodésique – courbe qui suit la plus courte distance entre deux points – est plus grande : c’est un arc de cercle qui suit la courbure de la planète, et cela révélera la géométrie sous-jacente la plus adaptée au monde dans lequel on vit, à savoir la géométrie sphérique.” 

Je pense que la géométrie hyperbolique régit une grande partie de notre activité cérébrale

Tatyana Sharpee et ses collègues ont adopté une approche similaire. “Nous sommes partis d’une matrice de distances entre des points où chaque point est un neurone, puis nous avons cherché à faire correspondre nos données avec une géométrie”, résume la chercheuse. Concrètement, ils ont placé des électrodes dans le cerveau de rats pour mesurer l’activité de leurs cellules de lieu pendant qu’ils exploraient de nouveaux environnements, puis ils ont cherché à établir des corrélations entre l’activité des différents neurones, sachant que plus les réponses de deux neurones sont corrélées, plus les champs de lieu correspondants sont proches. Et bingo. Leurs données expérimentales concordaient parfaitement avec la signature topologique de la géométrie hyperbolique. 

Ça augmente

Ils ont aussi constaté que plus l’animal passe de temps à explorer son environnement, plus la taille de cette représentation hyperbolique augmente, lui permettant d’engranger de plus en plus d’informations. “Cette variation de la taille avec le temps indique que l’animal utilise bel et bien cette représentation pour explorer son environnement”, atteste Alex Cayco Gajic, chercheuse au Laboratoire de neurosciences cognitives et computationnelles du département d’études cognitives de l’ENS. L’animal engrange plus d’informations, mais aussi des informations plus précises. Un effet qui découle directement d’une autre propriété étonnante des espaces hyperboliques : la croissance exponentielle de leurs zones les plus périphériques. Sur le fameux disque de Poincaré, qui représente cette étrange géométrie hyperbolique, ces zones périphériques sont celles près des contours ; c’est là que se situent les plus petits champs de lieu, dédiés aux détails des espaces dans lesquels on passe le plus de temps et sur lesquels nous engrangeons toujours plus de détails. “Plus la représentation hyperbolique grandit, plus les petits champs de lieu peuvent être nombreux et plus le maillage de l’espace est précis”, commente Huanqiu Zhang, qui travaille avec Tatyana Sharpee. C’est tout l’avantage de la géométrie hyperbolique : notre carte mentale n’est pas saturée puisqu’on peut toujours ajouter des détails en périphérie. Cette expansion n’est toutefois pas sans limite. Il existe une taille optimale de la représentation, qui est un compromis entre deux facteurs : un maximum d’informations enregistrées sur l’espace et un minimum de neurones occupés. Et ce serait ainsi que notre cerveau se représente l’espace.

Lois universelles

Cela va même plus loin, selon Tatyana Sharpee : “Je pense que la géométrie hyperbolique régit une grande partie de notre activité cérébrale”, assure-t-elle. À commencer par la perception des odeurs. La neurobiologiste a réussi à cartographier tout un ensemble de senteurs naturelles dans un espace hyperbolique, les plus agréables regroupées entre elles, les plus désagréables dans un autre endroit… Cette géométrie s’adapte remarquablement à la représentation des odeurs, elle pourrait donc correspondre à leur perception par le cerveau. “De la même manière que des lois physiques aident à comprendre le monde, je pense qu’il y a des lois universelles qui gouvernent les systèmes biologiques. Et nous espérons les découvrir en utilisant des systèmes mathématiques”, lance Tatyana Sharpee. 

Le mathématicien Matthieu Jacquemet se surprend à rêver. Et si c’était “en regardant ce qu’il se passe dans le cerveau, qu’on pouvait découvrir de nouvelles choses sur les espaces hyperboliques…” L’idée n’a pas fini de nous donner des vertiges.